刘若川：解析黎曼几何 我们生活的世界是四维的

北京国际数学研究中心副教授刘若川

　　新浪科技讯 10月28日下午消息，今日2017未来科学大奖颁奖典礼暨未来论坛年会在京举办。在数学研讨会上，北京国际数学研究中心副教授刘若川发表了题为《黎曼与黎曼假设》的演讲。

　　刘若川首先提到了千禧年七大数学问题，第一，P和NP问题；第二，霍奇猜想；第三，庞加莱猜想；第四，黎曼假设；第五，杨-米尔斯方程；第六，纳维-斯托克斯方程；第七，BSD猜想。

　　刘若川介绍说，在他看来，黎曼是19世纪最富有创造力的数学家，一生著述不多，但几乎每一篇论文都是经典之作，在函数论、代数几何微分几何、数论等学科都作出了奠基性的工作。

　　刘若川解释说，黎曼几何的内核是内蕴地理解“弯曲”，而事实上我们生活在思维的世界，时空都是弯曲的。（霄寒）

　　以下为演讲实录：

　　刘若川：非常感谢未来的邀请，我也很荣幸看到这个报告，报告的题目是讲黎曼与黎曼假设，这是我报告的提纲，分为四个部分，第一个部分我会介绍一下所谓的千禧年七大问题，刚刚孙教授已经提到过了，然后第二个问题我会介绍一下黎曼的生平，第三个和第四个部分是数学性部分，我会讲得非常初等，我希望大家能够领会他其中的涵义。

　　千禧年七大问题是什么东西呢？2000年世纪之交的时候，有一个数学研究所，这是现在数学上非常有名的数学的机构，他的目的是能够推广数学，促进数学的发展。他在千禧年的时候找到了数学界最顶尖的数学家，他们选择了七个问题，这七个问题代表了数学的各个方向上可能最深刻，最前沿的问题，比如说第一个P和NP问题，这是关于理论计算机的问题，可能很多人都知道，第二个部分是霍奇猜想，可能知道的人少了一点，这是代数几何类的问题，我们大奖的得主许老师的专业就是代数几何，第三个是庞加莱猜想，这是主持人提到的唯一的一个目前被解决的猜想，是被俄国的数学家（派而满 音）解决的，他的生平很传奇，有很多的故事，我不讲了，第四个是我们今天讲的黎曼假设，关于数论的问题，第五个是关于杨?米尔斯方程，这个杨是目前中国非常伟大的物理学家，杨振宁教授在50年代关于非交换阿尔卑厂的工作，当然和米尔斯合作产生了这个方程，田老师应该是这个方面的专家。第六个是流体力学里面的纳维斯方程，第七个是BSD猜想，也是关于数论的猜想。

　　这七个问题，大家常说文无第一，武无第二，这七个问题没有排序的，没有说哪一个问题更重要，如果说数学家投票的话，这七个问题里面一定要选出一个问题的话，我觉得有很大的几率是黎曼假设。我一会儿会讲一下为什么人们觉得它非常重要，首先历史上来看的话，黎曼假设可能是目前这几个问题里面最古老的，大概是19世纪50年代提出来的一个猜想，现在还没有被解决。

　　我还想说一下杨先生，他是属于非常懂数学的物理学家，曾经有一个笑话，数学数有两种，一种是我看了第一页就不想再看了，第二种是我看了一行就不想再看下去了。这个数学的学科发展了两千多年，最近其实在加速发展，发展越来越快和其他的科学技术是一样的，所以变得高度的技术化，在高度的技术化之后导致了他的基本思想很难被我们，比如说没有经受过数学训练的人所理解所欣赏，所以今天我们回到最原始的，最基本的想法让我们看看数学里面很重要，很漂亮的东西。

　　简单介绍一下黎曼这位数学家，我称之为黎曼是19世纪最富创造力的数学家，因为数学家里如果说最，往往要有一些风险，这是我个人的意见，他实际上是一个出生在牧师家庭，他们家比较穷，他爸爸是比较穷的牧师，所以他从小就被家里边送去学习宗教，希望他将来也能当一个牧师，改善家里面的经济状态，但是他在中学的时代就已经显露出了数学上的天赋，他的天赋使他的老师非常惊讶，我记得有一个故事说有一次老师给他一本书，他一个礼拜就还回去了，说我已经看懂了，看完了。很有数学天才，家里面的经济原因，大学还是学宗教方面的东西，最终碰到了后面讲的著名的数学家，我们叫做数学王子，高斯，高斯建议他还是要学数学，因为天赋难得，后来家里面也同意了，又改学数学了，他的生命不是特别长，大概活了40岁，因为发生了普鲁士和奥地利的一场战争，也是德国统一的时候打的最重要的一场原因，因为战争原因逃到了意大利，最后死在了意大利。他的一生很短暂，文章也不多，十篇左右，每一篇可以说都是普通数学家有这样一篇文章的话都是可以名垂千古，很满意了，他几乎每一篇文章都有这个水平，而且有开创的贡献，他的工作是从古代到现代的过渡，他开创了一些学科，比如说黎曼曲面，黎曼希尔伯特对应和黎曼几何，黎曼猜想，对现在的数学有巨大的影响，而且可能会继续下去。

　　稍微谈一点数学，一点点数学，基本上只要小学或者是初中的数学就够了，所以大家不要紧张。

　　左边是我自己拍的照片，拍的雪山的照片，摄影技术比较乏善可陈，这里的目的呢，我的题目是内蕴地理解弯曲，我们看到一个雪山，弯曲嘛，这个东西很自然的一个观感，曲曲折折，弯弯曲曲的。如果说你用数学的表达方式，或者是说语言想把这个东西表达出来，你可以怎么样？用坐标系，我们坐标系都学过，三维坐标系，任何一个点都可以用三个数来表达，是吧？你就做成了一个所谓的三维地理信息系统。也就是我们俗称的地图，三维地图。你可以把这个地图投影做成二维的地理信息图，就是平面地图，从这个三维的，把这个图像三维定位出来以后和坐标之间的变换速度，就是所谓的斜率可以看出来这个图形的弯曲程度，跟我们是相符的，我想我们普通人理解弯曲都是这么理解的，没有问题。但是从黎曼几何的角度带将怎么样理解这个问题，假设是这样的情况，我们是一个球面，我们人类看一个球面可以理解弯曲是什么东西，没有问题。假设现在有一种二维生物，很悲惨，不像我们有三维的视野，可以从外面看委屈，他就是二维的动物，没法在球面上跳出来看，我们看球面是弯曲的，他怎么理解弯曲呢，这是黎曼几何的核心想法。比如说我是身在其中的东西，我怎么理解我所处的空间或者是宇宙的弯曲程度。

　　这个核心的想法，黎曼的想法是用距离这个观点，这个概念，我们看右边，初中都学过平面几何，是吧，这是所谓的大圆，就是任何两个点，A和B在圆心，三点构成一个平面，这个球就形成了一个大圆。球面上有一个很重要的性质，就是假设你有两个点，A和B，你沿着球面走，从A点走到B点，最近的路径是什么呢？其实就是沿着大圆走，这是很容易知道的一个实施。所以假设这个蚂蚁会测量，虽然我看不见，我不能从外面看见我的球是什么样的，但是我测量，我测量之后发现从A走到B，沿着大圆走最近，自然会想到，这个就叫做直线吧两点之间直线最短，如果蚂蚁像我们一样思考，就定义为直线。任何两条直线就是两个大圆，两个大圆的话一定会相交，这个和我们人类经验不一样了，我们的想法是有两条平行线永远不相交，球面上的话二维生物理解我的世界里任何两条直线都会空间，原因在于空间是弯曲的，不是平坦的，是弯曲的。如果你有一个只生活在自己世界的二维动物，可以通过测量发现自己所处的空间是不是弯曲的，这是黎曼几何的基本想法，我怎么样能够内蕴的理解弯曲的概念。

　　后来的故事，大家都知道了，是一个，其实我们的命运比蚂蚁强不了太多，我们生活的空间也是太多的。我们聪明，我们聪明在于我们真正能够通过我们的物理学家的努力，我们认识到这种弯曲，但是我要说一下这个想法最终一开始从黎曼那里来的，黎曼应该是第一个认为我们生活的空间是四维的，是时空，是时间加说我们三维的空间，从这个角度去理解我们所处的宇宙最合适。

　　天才的物理学家爱因斯坦就提出了对论。爱因斯坦这个人，这个物理学家是非常有物理天赋的一个人，但是他数学不行。他在上大学的时候，经常逃数学课，后来数学不行，但是他有一个同学数学特别好，后来他想创建广义相对论的时候，他有物理直觉，但是没有合适的工具，恰好同学帮助他，有一个东西叫做黎曼几何的东西特别适合你，有五六十年前已经做出来了，你用用看，他用了黎曼几何表达了他的相对论。知道时空是四维的，质量存在肯定会导致空间的弯曲。怎么理解这个弯曲呢？就是所谓的制宪会弯及什么是直线呢？直线的话我们的想法是两点之间距离最短的那条线叫直线，是吧？物理里面光沿着最短的路径走，光可以看到真实世界中的直线我们经过测量发现这个在质量的影响下发生了弯曲，所以我们真实的世界是一个四维的时空，我们通过测量这个光的弯曲程度我们知道我们真的生活在一个弯曲的空间里。

　　这个是黎曼集合的基本思想。那么我们谈黎曼假设，这是一个关于数的问题，刚才孙教授提到了，是关于数的问题，后面我们有一个庞大的，非常庞大的朗兰兹纲领。对数学家来讲非常深刻。如果我们从一个比较一般的角度理解黎曼假设的重要性，为什么重要？刚才图片出现了数学王子高斯，他可以称之为史上最聪明的数学家，我想大部分数学家都是没有异议的，都会觉得他是最聪明的，田老师是不是也这么认为。

　　黎曼假设是关于素数的一个猜想，为什么叫做假设呢？因为太重要了，一旦成立的话，对我们数学有很大的推动作用，很多东西就解决了，所以人们情愿相信是对的。我认为自然数在数学里面有特殊的地位。这是我个人的小小看法。因为我刚才讲了几何，我不是说几何不重要，但是几何是一个我们和其他的生物都能够分享的一种东西。用我们的视觉，我们从视觉产生几何的想法和概念。那么，生物，其他的生物也都有这种想法和视觉，有的视觉比我们还好。

　　那么数这个东西，我听到一种说法说高级物种对数的概念很差，比如说一只猩猩，没有经过训练的话会数到三，或者是十，训练的话会多一点，人类很有经验，人类从什么时候开始从一二三一直数下去，数到无穷，这是一个很有意思的问题，从原始数数不可能，某一个时间产生飞跃了，我们突然意识到这个数可以一直数下去，我认为这个是对数关联的飞跃，所以我认为这个数这个东西是我们人类思维里面独有的一个这样的东西。

　　为了研究整数，我们有素数这个概念。就刚刚孙教授讲的，素数实际上是一种不能够被比较小的数整除的，其他的数是素数的乘积，这是最基本的东西，也是最重要的东西。但是我们对素数的分布规律知道得非常少，是非常神秘的一个对象。如果你想知道这个，如果能够搞清楚素数的秘密，你绝对会成为，我不敢说怎么怎么样？反正是最top的数学家。

　　那么高斯呢？是第一个有史记载的第一个对素数的分布规律提出一个猜想的人，提出了一个素数定律，这个告诉我们什么，告诉了素数分布规律大概是什么样子，是一个约等号。告诉你前一千个数里面有168个质数，大概是六分之一，然后前一万个数里面有1229个质数，是八分之一，前十万个数里面有9592个，大概十分之一的质数，质数在数里面的分布越来越稀疏，我们很早以前就知道质数是无限的，但是分布的稀疏程度我们如何控制，这是提出的素数定理，我们可以用X来除掉这个自然对数，我们中学都应该学过自然对数里面的对数，是吧？所以说这个比例就应该是logX分之1这样的比例，随着X的不断的增大，比例越来越低，这是一个很粗糙的，从黎曼假设角度来讲比较粗糙的，后面会讲到这件事。单引号第一个关于素数分布规律的猜想，高斯通过手来计算，计算以后猜想这个，很厉害，因为那个时候没有计算机。

　　什么是黎曼假设？刚才孙教授已经写下来了黎曼的方程这么一个东西，这个基数求和，这个+1，假下去很难理解，这是一个神秘的函数，之所以神秘呢，你可以取值，发现像π，到246的时候和π有关，到负2，负4，负6的时候这是等于0，这是最大函数的频繁临界，这是一个函数，对这些数可以取值。黎曼假设告诉你们什么呢？告诉你这个函数的非平反零点的虚部二分之一，这个是负数的概念，这个最大的函数可以定位在整个负平面上，可以考虑这个负数的取值，这个零点是什么样子的。所谓的非平反零点就是负2，负4，负6这些东西，这是一个很神秘的猜测，我也没有办法给大家解释为什么这个东西这么猜，有很深刻的数学原因。

　　左边是黎曼1959年的手稿，可以看里面涂涂抹抹，写得非常乱，所以数学家得的东西是得来不易的，那个时候是需要纸和笔就可以了，今天我们有的时候需要计算机算一下。然后，在右边，那个红点，负2那个地方，是一个频繁的0点，后面还有负4，这都是频繁的0点，不是我们考虑的东西，猜测其他的0点在那条虚线上，就是二分之一这条线上。

　　现在我们能做什么事情呢？就是说在白色的区域里面，零点在这样一个白色区里面，这个图不是特别的精确，所以你看这个白色的区域，到这个中间的这条虚线差得很远很远，我们对这件事的理解还非常的原始，非常粗糙，距离真正理解这件事还很远，然后之前讲了一个素数定理，和黎曼假设什么关系呢？一旦你知道黎曼假设就知道对素数定理有更精确的了解。怎么证明，最右边这条线是整个图形右边那条边，这个事情我们知道，也可以看到证明那个边上没有零点，和证明所有零点在虚线上的差别有多大，是不是？所以现在我们对一个非常弱得多得多的这么一个结论有这样一个证明，而且挪威数学家也给出了这样一个证明，所谓的初等证明，还拿了菲尔兹奖，所以你看到了，如果给出这样一个证明。你马上会，我想肯定会未来大奖是你的，没有问题。如果你40岁以下，菲尔兹奖也是你的，没有问题。还有千禧年大奖，也是一百万美金，我觉得我们未来大奖更有优势。因为我们的税少一点。

　　那么我刚刚说了黎曼几何这个东西，其实对我们理解物理和现实很有帮助，而且最近和大数据，人工智能好像也扯上了关系，我不是专家，我不懂，我只是看自媒体的文章。如果要问黎曼假设，这两个是黎曼提出来的，看他很厉害，最几何的东西上，纯粹的数字上都有很深的。这个黎曼假设怎么用，是不是像物理学那样有重要的作用，对我们有什么实际的用处，人们经常问数学有什么实际的作用。黎曼假设到底有没有实际的作用，像物理世界那么实际。我目前只能说我知道最实际的作用就是我讲的，你能拿到一百万的美金，这是最实际的作用。我是开个玩笑，我认为黎曼假设是人类智力的一个标杆，我觉得他是人类，我们的智力能达到什么层次的一个标杆。这也是我们在芸芸众生中人类可以脱颖而出这么一个数学吧，我们人类能够在芸芸众生之间脱颖而出的一个最重要的指标。所以我也期待着，现在有大概一百六七十年这样一个历史。我们还完全不知道该怎么样解决它，我觉得现在完全没有，觉得可能会被解决这样一个迹象。所以有很长的时间，我们要去思考这个难题。但是我觉得我们应该去努力想这样的问题，而不是紧紧围绕着这个问题，就讲这些。